Question

下列关于数列的说法：
①若数列{a_n}是等差数列，且p+q=r（p，q，r为正整数）则a_p+a_q=a_r；
②若数列{a_n}前n项和，则{a_n}是等差数列；
③若数列{a_n}满足a_n+1=2a_n，则{a_n}是公比为2的等比数列；
④若数列{a_n}满足S_n=2a_n-1，则{a_n}是首项为1，公比为2等比数列．
其中正确的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：①若数列{a_n}是等差数列，且p+q=r（p，q，r为正整数）则a_p+a_q=a_r，等差数列的性质判断；
②根据s_n的通项公式，求出a_n，利用公式a_n=s_n-s_n-1，即可求解，要验证首项是否满足；
③若数列{a_n}满足a_n+1=2a_n，则{a_n}是公比为2的等比数列，用用特殊数列的类型来研究判断；
④数列{a_n}满足S_n=2a_n-1，利用公式a_n=s_n-s_n-1，即可求出通项公式，从而进行判断；
解答：解：①若数列{a_n}是等差数列，且p+q=r（p，q，r为正整数）则a_p+a_q=a_r，不是正确命题，应a_p+a_q=2a_r．故①错误；
②数列{a_n}前n项和，∴a_n=s_n-s_n-1=（n+1）²-n²=2n+1，当n=1代入得s₁=a₁=2²=4，
a_n=2n+1，首先n=1不满足，从n≥2开始是等比数列，故②正确；
③若数列{a_n}满足a_n+1=2a_n，则{a_n}是公比为2的等比数列，不是真命题，如：0，0，0，…，故③错误；
④数列{a_n}满足S_n=2a_n-1，，∴a_n=s_n-s_n-1=2a_n-1-（2a_n-1-1）=2a_n-2a_n-1，∴=2，当n=1时得a₁=1，
∴a_n=2^n-1（n≥1），故④正确；
故选A；
点评：本题考查命题真假判断与应用，求解此类题的关键是要对命题涉及的知识与定理、定义等有很好的理解与掌握，本题中举反例时易因为0，0，0，…太特殊了而想不到，学习时应该对各类数列进行分类归纳，明确其性质．