Question

【题目】在直角坐标系xOy中，设动点P到定点F（1，0）的距离与到定直线l：x=﹣1的距离相等，记P的轨迹为Γ．又直线AB的一个方向向量 且过点（1，0），AB与Γ交于A、B两点，求|AB|的长．

Answer 1

【答案】解：∵动点P到定点F（1，0）的距离与到定直线l：x=﹣1的距离相等，
∴由抛物线的定义，可得动点P的轨迹Γ是抛物线，
设其方程为y2=2px，由 =1得2p=4，
∴抛物线的方程为y2=4x，即为曲线Γ的方程．
∵直线AB的一个方向向量 ，过点（1，0），
∴直线AB的斜率k=2，方程为y=2（x﹣1），即y=2x﹣2．
设直线l与曲线Γ的交点坐标为A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2），
由 ，整理得x2﹣3x+1=0，可得x1+x2=3．
∴根据抛物线的定义，可得|AB|=x1+x2+p=2+x1+x2=5．
【解析】根据抛物线的定义得动点P的轨迹Γ是抛物线，求出其方程为y2=4x．由直线方程的点斜式，算出直线AB的方程为y=2x﹣2，再将直线方程与抛物线方程联解，并结合抛物线的定义加以计算，可得线段AB的长．