Question

16．函数f（x）同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（-x）=0；②对于定义域上的任意x₁，x₂．当x₁≠x₂时，恒有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0．则称函数f（x）为“理想函数”，则下列四个函数中：①f（x）=$\frac{1}{2}$；②f（x）=x²；③f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}，x≥0}\\{{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$；④f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）可以称为“理想函数”的有2个．

Answer 1

分析 “理想函数”的两个条件：①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（-x）=0，即函数f（x）为奇函数；②对于定义域上的任意x₁，x₂．当x₁≠x₂时，恒有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，即函数f（x）在定义域上单调递减．对每一个函数判断即可得出．

解答 解：“理想函数”的两个条件：①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（-x）=0，即函数f（x）为奇函数；
②对于定义域上的任意x₁，x₂．当x₁≠x₂时，恒有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，即函数f（x）在定义域上单调递减．
①②函数f（x）不是奇函数，因此函数f（x）不是“理想函数”；
③f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}，x≥0}\\{{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，满足f（-x）=-f（x），并且在R上是单调递减，因此是“理想函数”；
④f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x），x∈R，f（-x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）=-log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）=-f（x），∴函数f（x）是奇函数，令u（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$在[0，+∞）上是单调递增函数，但是f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}u$在（0，+∞）上单调递减，因此函数f（x）是单调递减函数，因此函数f（x）是“理想函数”．
综上可得：可以称为“理想函数”的有 2个．
故答案为：2．

点评 本题考查了函数的单调性、奇偶性、新定义函数“理想函数”、简易逻辑的判定方法，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．