Question

进行直角坐标方程与极坐标方程的互化.

(1)y²=4x;(2)y²+x²-2x-1=0;(3)θ=;(4)ρcos²=1;(5)ρ²cos2θ=4;(6)ρ=.

Answer 1

解:(1)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入y²=4x,得(ρsinθ)²=4ρcosθ,

化简得ρsin²θ=4cosθ.

(2)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入y²+x²-2x-1=0,得(ρsinθ)²+(ρcosθ)²-2ρcosθ-1=0,?

化简得ρ²-2ρcosθ-1=0.?

(3)tanθ=,∴tan==,化简得y=x(x≥0).

(4)∵ρcos² =1,?

∴ρ=1,即ρ+ρcosθ=2.?

∴+x=2,化简得y²=-4(x-1).?

(5)∵ρ²cos2θ=4,∴ρ²cos²θ-ρ²sin²θ=4,即x²-y²=4.?

(6)∵ρ=,

∴2ρ-ρcosθ=1.

∴2,化简得3x²+4y²-2x-1=0.

点评:在进行两种坐标间的互化时,我们要注意:

(1)互化公式是有三个前提条件的,极点与直角坐标系的原点重合;极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合;两种坐标系的单位长度相同.?

(2)由直角坐标求极坐标时,理论上不是唯一的,但这里约定只在0≤θ＜2π范围内求值.

(3)由直角坐标方程化为极坐标方程,最后要化简.

(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性,通常总要用ρ去乘方程的两端,应该检查极点是否在曲线上,若在,是等价变形,否则,不是等价变形.