Question

14、已知f（x）是定义在R上的函数，存在反函数，且f（9）=0，若y=f（x+1）的反函数是y=f^-1（x+1），则f（2009）=

-2000

．

Answer 1

分析：首先理解题意：由y=f（x+1）的反函数是y=f^-1（x+1）可知f（x）的逆函数就是f（x）本身，是斜率-1的直线，设出直线方程y=-x+b，求出b，进而求出f（2009）．

解答：解：y=f（x+1）的反函数是y=f^-1（x+1），就是说y=f（x）的图象左移1，
f^-1（x）的图象左移1还是它的逆函数，
那么f（x）的逆函数就是f（x）本身，是斜率-1的直线，
设y=-x+b，f（9）=0，得b=9，
∴f（2008）=-2009+9=-2000，
故答案为：-2000．

点评：本题主要考查反函数的知识点，解答本题的关键是从题干条件y=f（x+1）的反函数是y=f^-1（x+1）知f（x）的逆函数就是f（x）本身，是斜率-1的直线，本题是道比较不错的习题．