Question

已知数列{a_n}、{b_n}、{c_n}的通项公式满足b_n=a_n+1-a_n，c_n=b_n+1-b_n（n∈N^*）．若数列{b_n}
是一个非零常数列，则称数列{a_n}是一阶等差数列；若数列{c_n}是一个非零常数列，则称数列{a_n}是二阶等差数列．
（Ⅰ）试写出满足条件a₁=1，b₁=1，c_n=1的二阶等差数列{a_n}的前五项；
（Ⅱ）求满足条件（Ⅰ）的二阶等差数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅲ）若数列{a_n}的首项a₁=2，且满足c_n-b_n+1+3a_n=-2ⁿ⁺¹（n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）根据数列的递推式分别求得a₁，a₂，a₃，a₄，a₅=1的值．
（2）根据题意可知b_n+1-b_n=c_n=1，a_n+1-a_n=b_n=n，进而用叠加法求得b_n和a_n．
（3）根据题设条件整理可得b_n-3a_n=2ⁿ⁺¹，整理可得a_n+2ⁿ=4•4^n-1=4ⁿ，进而判断出数列{a_n+2ⁿ}的首项为a₁+2=4，公比为4的等比数列，求得数列的通项公式，进而求得a_n．

解答：解：（Ⅰ）a₁=1，
a₂=b₁+a₁=2，b₂=c₁+b₁=2
∴a₃=b₂+a₂=4，同样的道理求得a₄=7，a₅=1
（Ⅱ）依题意b_n+1-b_n=c_n=1，n=1，2，3
所以b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+（b_n-2-b_n-3）+…+（b₂-b₁）+b₁
=1+1+1+1+…+1=n
又a_n+1-a_n=b_n=n，n=1，2，3，
所以a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+（a_n-2-a_n-3）+…+（a₂-a₁）+a₁=（n-1）+（n-2）+…+2+1+1=

n(n-1)

2

+1=

n2-n+2

2

（Ⅲ）由已知c_n-b_n+1+3a_n=-2ⁿ⁺¹，可得b_n+1-b_n-b_n+1+3a_n=-2ⁿ⁺¹，
即b_n-3a_n=2ⁿ⁺¹，
整理得：a_n+1+2ⁿ⁺¹=4（a_n+2ⁿ），
因而数列{a_n+2ⁿ}的首项为a₁+2=4，公比为4的等比数列，
∴a_n+2ⁿ=4•4^n-1=4ⁿ，
即a_n=4ⁿ-2ⁿ

点评：本题主要考查了等比数列的性质．数列与不等式、函数等问题是综合考查．