Question

已知函数y=(log2

x

4

)•(log4

x

2

)，x∈[2，4]
（1）求当x=4

2

3

时对应的y值；
（2）求函数y的最大值和最小值，并求出此时x的值．

Answer 1

分析：（1）先根据对数的运算性质进行化简，然后将x=4

2

3

代入进行求解即可；
（2）令log₂x=t，根据x的范围求出t的范围，转化成关于t的二次函数，然后进行配方得到对称轴，根据二次函数的性质可求出函数y的最值，然后求出相应的x即可．

解答：解：（1）y=

1

2

（log₂x-2）（log₂x-1）
当x=4

2

3

时，

1

2

（

4

3

-2）（

4

3

-1）=

1

6

×（-

2

3

）=-

1

9

（2）令log₂x=t，x∈[2，4]则t∈[1，2]
∴y=

1

2

(log2x-2)(log2x-1)=

1

2

(t-2)(t-1)
=

1

2

(t2-3t+2)=

1

2

(t-

3

2

)2-

1

8

①
t=

3

2

时ymin=-

1

8

此时x=2

2

t=1或2时，y_max=0此时x=2或4．

点评：本题主要考查了对数的运算性质，同时考查了换元法的应用，转化与划归的数学思想，属于基础题．