Question

16．设复数z=x+yi（x，y∈R）且|z+i|+|z-i|=4，则点（x，y）的轨迹方程是$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{3}$=1．

Answer 1

分析 由复数的模的几何意义可得，复数z对应点z对应点到（0，1），（0，-1）的距离和等于4，由此，点（x，y）的轨迹是以（0，1），（0，-1）为焦点的椭圆，且c=1，2a=4，即可求得x，y满足的轨迹方程．

解答 解：∵复数z=x+yi（x，y∈R），且|z+i|+|z-i|=4，
∴由复数的模的几何意义可得，复数z对应点到（0，1），（0，-1）的距离和等于4，
∴点（x，y）的轨迹是以（0，1），（0，-1）为焦点的椭圆，且c=1，2a=4，
∴a=2，b=$\sqrt{3}$
故x，y满足的轨迹方程是$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{3}$=1．
故答案为：$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{3}$=1．

点评 本题主要考查两个复数差的绝对值的几何意义，复数与复平面内对应点之间的关系，复数的模的定义，属于基础题．