Question

已知4个命题：
①若等差数列{a_n}的前n项和为S_n则三点（10，

S10

10

），（100，

S100

100

），（110，

S110

110

），共线；
②命题：“?x∈R，x²+1＞3x”的否定是“?x∈R，x²+1≤3x”；
③若函数f（x）=x-

1

x

+k在（0，1）没有零点，则k的取值范围是k≥2，
④f（x）是定义在R上的奇函数，f′（x）＞0，且f（2）=

1

2

，则xf（x）＜1的解集为（-2，2）．
其中正确的是

 

．

Answer 1

分析：利用三点连线的斜率关系判定①的正误；
直接写出命题的否命题即可判定②的正误；
利用函数的单调性，零点存在定理判定③的正误；
通过函数的导数，以及函数的性质，求出不等式的解集，判定④的正误，即可得到结论．

解答：解：①

S10

10

=

a1+a10

2

，

S100

100

=

a1+a100

2

，

S110

110

=

a1+a110

2

，设等差数列的公差为d，
∴

S100 100 - S10 10

100-10

=

a110-a10

2×90

=

d

2

，

S110 110 - S100 100

110-100

=

a110-a100 2

10

=

d

2

，
即 前两个点连线的斜率等于后两个点连线的斜率，故三点共线，故①正确．
②根据命题的否定的定义，“?x∈R，x²+1＞3x”的否定是“?x∈R，x²+1≤3x”；是正确的，故②正确．
③函数f（x）=x-

1

x

+k在（0，1）没有零点，故f′（x）=1+

1

x2

＞0，所以函数在（0，1）内是增函数，x-

1

x

＜0，当k≥2时，函数有零点，③不正确．
④f（x）是定义在R上的奇函数，f′（x）＞0，且f（2）=

1

2

，所以x＞0时，函数是恒为正值，f（0）=0，x＜0时函数为负值，2f（2）=1，则xf（x）＜1的解集为（-2，2）．正确．
故答案为：①②④．

点评：本题是综合题，考查三点共线，命题的否定，零点，导数与不等式的知识，考查知识的灵活运应，是中档题．