【题目】设数列{an}的前项n和为Sn , 若对于任意的正整数n都有Sn=2an﹣3n.
(1)设bn=an+3,求证:数列{bn}是等比数列,并求出{an}的通项公式.
(2)求数列{nan}的前n项和Tn .
【答案】
(1)证明:由已知Sn=2an﹣3n.n=1时,a1=2a1﹣3,解得a1=3.
n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣3n﹣[2an﹣1﹣3(n﹣1)].
∴an+1=2an+3,变形为an+1+3=2(an+3),即bn+1=3bn.
∴数列{bn}是等比数列,首项为6,公比为2.
∴bn=an+3=6×2n﹣1,解得an=3×2n﹣3
(2)解:nan=3n×2n﹣3n.
设数列{n2n}的前n项和为An=2+2×22+3×23+…+n2n,
2An=22+2×23+…+(n﹣1)2n+n2n+1,
∴﹣An=2+22+…+2n﹣n2n+1= ﹣n2n+1,
∴An=(n﹣1)2n+1+2.
∴数列{nan}的前n项和Tn=(3n﹣3)2n+1+6﹣
【解析】(1)利用递推关系可得:an+1=2an+3,变形为an+1+3=2(an+3),即bn+1=3bn . 即可证明.(2)利用“错位相减法”、等差数列与等比数列的求和公式即可得出.
【考点精析】掌握数列的前n项和和数列的通项公式是解答本题的根本,需要知道数列{an}的前n项和sn与通项an的关系;如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式.
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【题目】函数y=f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,则( )
A.f(﹣π)>f(﹣1)>f( )
B.f(﹣1)>f(﹣π)>f( )
C.f(﹣π)>f( )>f(﹣1)
D.f(﹣1)>f( )>f(﹣π)
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【题目】已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26.{an}的前n项和为Sn . (Ⅰ)求an及Sn;
(Ⅱ)令bn= (n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn .
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【题目】已知m、n、s、t∈R* , m+n=3, 其中m、n是常数且m<n,若s+t的最小值 是 ,满足条件的点(m,n)是椭圆 一弦的中点,则此弦所在的直线方程为( )
A.x﹣2y+3=0
B.4x﹣2y﹣3=0
C.x+y﹣3=0
D.2x+y﹣4=0
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【题目】已知函数y=f(x)对任意的x∈(﹣ , )满足f′(x)cosx+f(x)sinx>0(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式成立的是( )
A. f(﹣ )<f(﹣ )
B. f( )<f( )
C.f(0)>2f( )
D.f(0)> f( )
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【题目】如图所示,一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路,已知矩形花园长AD=5m,宽AB=3m,其中一条小路定为AC,另一条小路过点D,问如何在BC上找到一点M,使得两条小路AC与DM相互垂直?
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【题目】如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,四边形ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边的中点,求证:BG⊥平面PAD;
(2)求证:AD⊥PB.
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