Question

16．已知函数$f（x）={log_2}^{\frac{x-1}{x+1}}$，g（x）=3ax+1-a，h（x）=f（x）+g（x）．
（1）当a=1时，判断函数h（x）在（1，+∞）上的单调性及零点个数；
（2）若关于x的方程f（x）=log₂g（x）有两个不相等实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）结合反比例函数的单调性和复合函数的单调性，可得函数$f（x）={log_2}^{\frac{x-1}{x+1}}$在（1，+∞）上为增函数，当a=1时，g（x）=3ax+1-a=3x为增函数，根据“增+增=增”，可得函数h（x）在（1，+∞）上的单调性；再由零点存在定理，可得函数零点的个数；
（2）若关于x的方程f（x）=log₂g（x）有两个不相等实数根，则方程$-\frac{2}{a}=（3x-1）（x+1）$，（x＜-1，或x＞1）有两个不相等实数根，进而得到实数a的取值范围．

解答 解：（1）令t=$\frac{x-1}{x+1}$=1-$\frac{2}{x+1}$，则函数在（1，+∞）上为增函数，且恒为正，
故函数$f（x）={log_2}^{\frac{x-1}{x+1}}$在（1，+∞）上为增函数，
当a=1时，g（x）=3ax+1-a=3x为增函数，
故h（x）=f（x）+g（x）在（1，+∞）上为增函数，
由h（1.1）=3.3-log₂21＜0，h（2）=6-log₂3＞0，
所以函数h（x）在（1，+∞）上有且只有一个零点．
（2）方程f（x）=log₂g（x）可化为：${lo{g}_{2}}^{\frac{x-1}{x+1}}$=log₂（3ax+1-a），
即$\frac{x-1}{x+1}$=3ax+1-a，
即$-\frac{2}{a}=（3x-1）（x+1）$，（x＜-1，或x＞1），
令v（x）=（3x-1）（x+1），
则v（-1）=0，v（1）=4，
若关于x的方程f（x）=log₂g（x）有两个不相等实数根，则$-\frac{2}{a}＞4$，
解得a的取值范围是$（-\frac{1}{2}，0）$．

点评 本题考查的知识点是复合函数的单调性，根的存在性及个数判断，函数的单调性的判断与证明，难度中档．