分析:(1)要证明C1B⊥平面ABC,根据本题条件,需要证明BC1AB⊥,由AB⊥侧面BB1C1C就可以解决;而要证明C1B⊥BC;则需要通过解三角形来证明;
(2)要确定E点的位置,使得EA⊥EB1,由三垂线定理,必有BE⊥B1E,通过解直角三角形BEB1解决;
(3)需要作出二面角的平面角,通过解三角形解决.
解答:证明:(1)因为AB⊥侧面BB
1C
1C,故AB⊥BC
1,
在△BC
1C中,
BC=1,CC1=BB1=2,∠BCC1=由余弦定理有:
BC1= | BC2+CC12-2•BC•CC1 • cos∠BCC1 |
=
=,
故有BC
2+BC
12=CC
12∴C
1B⊥BC,
而BC∩AB=B且AB,BC?平面ABC,
∴C
1B⊥平面ABC;
(2)EA⊥EB
1,AB⊥EB
1,AB∩AE=A,AB,AE?平面ABE,
从而B
1E⊥平面ABE,且BE?平面ABE,故BE⊥B
1E,
不妨设CE=x,则C
1E=2-x,则BE
2=1+x
2-x,
又∵
∠B1C1C=π则B
1E
2=1+x
2+x,
在Rt△BEB
1中有x
2+x+1+x
2-x+1=4,从而x=±1(舍负),
故E为CC
1的中点时,EA⊥EB
1,
(3)取EB
1的中点D,A
1E的中点F,BB
1的中点N,AB
1的中点M
连DF,则DF∥A
1B
1,连DN则DN∥BE,连MN则MN∥A
1B
1,
连MF则MF∥BE,且MN∥DF,MD∥AE
又∵A
1B
1⊥EB
1,AE⊥EB
1,故DF⊥EB
1,MD⊥EB
1,∠MDF为所求二面角的平面角,
在Rt△DFM
DF=A1B1=(∵△BCE为正三角形)
MF=BE=CE=∴tan∠MDF=
=.
点评:本题考查线面垂直、线线垂直、二面角的求法,是立体几何常考的问题,对于本题,通常的几何推导、向量法都不好用,而选择使用计算来证明线线关系,也是常用的证明方法之一,要根据条件适当选择.