Question

【题目】在如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥CD，BC⊥平面PAB，且E，M，N分别为PD，CD，AD的中点， =3 ．

（1）证明：PB∥平面FMN；
（2）若PA=AB，求二面角E﹣AC﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连结BD，分别交AC、MN于点O，G，连结EO、FG，

∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，

又 =3 ，∴F为ED中点，又CM=MD，AN=DN，∴G为OD的中点，

∴FG∥EO，∴PB∥FG，

∵FG平面FMN，PB平面FMN，

∴PB∥平面FMN．

（2）解：∵BC⊥平面PAB，∴BC⊥PA，又PA⊥CD，BC∩CD=C，

∴PA⊥平面ABCD，

如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

设PA=AB=2，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），E（0，1，1），

则 =（2，2，0）， =（0，1，1），

平面ABCD的一个向向量 =（0，0，1），

设平面AEC的法向量为 =（x，y，z），

则 ，取x=1，得 =（1，﹣1，1），

∴cos＜ , ＞= = ，

由图知二面角E﹣AC﹣B为钝角，

∴二面角E﹣AC﹣B的余弦值为﹣ ．

【解析】（1）连结BD，分别交AC、MN于点O，G，连结EO、FG，推导出EO∥PB，FG∥EO，PB∥FG，由此能证明PB∥平面FMN．（2）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出二面角E﹣AC﹣B的余弦值．
【考点精析】关于本题考查的直线与平面平行的判定，需要了解平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能得出正确答案．