Question

20．如图，在△ABC中，∠B=$\frac{π}{2}$，∠BAC的平分线交BC于点D，AD=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{6}$，则△ABC的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 设AB=a，∠BAD=θ，则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{cosθ}=AD=\sqrt{2}}\\{\frac{a}{cos2θ}=AC=\sqrt{6}}\end{array}\right.$，由此求出cos$θ=\frac{\sqrt{3}}{2}$，进而求出AB和AC，从而能求出△ABC的面积．

解答 解：设AB=a，∠BAD=θ，
∵在△ABC中，∠B=$\frac{π}{2}$，∠BAC的平分线交BC于点D，AD=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{6}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{cosθ}=AD=\sqrt{2}}\\{\frac{a}{cos2θ}=AC=\sqrt{6}}\end{array}\right.$，整理，得$\frac{cos2θ}{cosθ}$=$\frac{2co{s}^{2}θ}{cosθ}$=2cosθ-$\frac{1}{cosθ}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
设cosθ=x，解方程2x-$\frac{1}{x}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，解x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，或x=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵0°＜θ＜90°，∴x＞0，∴cos$θ=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AB=a=ADcos$θ=\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，
BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}×AB×AC=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}×\frac{3\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．