分析 (1)由数列{an}的各项均为正数,a1=1,an+1=$\frac{{a}_{n}}{\sqrt{1+{{a}^{2}}_{n}}}$,可得$\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}}$-$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=1.再利用等差数列的通项公式即可得出;
(2)bn=$\frac{{a}_{n}•{a}_{n+1}}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$,再利用“裂项求和”方法即可得出.
解答 解:(1)∵数列{an}的各项均为正数,a1=1,an+1=$\frac{{a}_{n}}{\sqrt{1+{{a}^{2}}_{n}}}$,
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}}$-$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=1.
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}^{2}}\}$是等差数列,公差为1,首项为1.
∴$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=1+(n-1)=n,an>0.
∴an=$\frac{1}{\sqrt{n}}$.
(2)bn=$\frac{{a}_{n}•{a}_{n+1}}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$,
∴数列{bn}的前n项和=$(\sqrt{2}-1)$+$(\sqrt{3}-\sqrt{2})$+…+($\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$)=$\sqrt{n+1}$-1.
点评 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
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A. | πf(1)>ef(lnπ) | B. | πf(1)=ef(lnπ) | ||
C. | πf(1)<ef(lnπ) | D. | πf(1)与ef(lnπ)的大小不确定 |
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A. | 24 | B. | -24 | C. | $\sqrt{5}$-1 | D. | 1-$\sqrt{5}$ |
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A. | an=n-1 | B. | an=n-2 | C. | an=n(n-1) | D. | an=2n-2 |
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