Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为A，过点A与AF₂垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且2

F1F2

+

F2Q

=0，若过A，Q，F₂三点的圆恰好与直线l：x-

3

y-3=0相切．过定点M（0，2）的直线l₁与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l₁的斜率k＞0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若实数λ满足

MG

=λ

MH

，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（I）因为2

F1F2

+

F2Q

=0，知a，c的一个方程，再利用△AQF的外接圆得出另一个方程，解这两个方程组成的方程组即可求得所求椭圆方程；
（II）由（I）知设l₁的方程为y=kx+2，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量(

PG

+

PH

)•

GH

=0的坐标表示即可求得满足题意的点P且m的取值范围．
（Ⅲ）先分两种情况讨论：①当直线l₁斜率存在时，设直线l₁方程为y=kx+2，代入椭圆方程消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量(

PG

+

PH

)•

GH

=0的坐标表示即可求得满足题意的λ的取值范围；②又当直线l₁斜率不存在时，直线l₁的方程为x=0，同样利用向量的坐标运算求λ的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）因为2

F1F2

+

F2Q

=0，
所以F₁为F₂Q中点．
设Q的坐标为（-3c，0），
因为AQ⊥AF₂，所以b²=3c×c=3c²，a²=4c×c=4c²，
且过A，Q，F₂三点的圆的圆心为F₁（-c，0），半径为2c．（2分）
因为该圆与直线l相切，所以

|-c-3|

2

=2c．
解得c=1，所以a=2，b=

3

．
故所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．（4分）
（Ⅱ）设l₁的方程为y=kx+2（k＞0），
由

y=kx+2 x2 4 + y2 3 =1

得（3+4k²）x²+16kx+4=0．
设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），则x1+x2=-

16k

3+4k2

．（5分）
所以

PG

+

PH

=(x1-m，y1)+(x2-m，y2)=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂）．
=（x₁+x₂-2m，k（x₁+x₂）+4）

GH

=(x2-x1， y2-y1)=(x2-x1， k(x2-x1))．
由于菱形对角线互相垂直，则(

PG

+

PH

)•

GH

=0．（6分）
所以（x₂-x₁）[（x₁+x₂）-2m]+k（x₂-x₁）[k（x₁+x₂）+4]=0．
故（x₂-x₁）[（x₁+x₂）-2m+k²（x₁+x₂）+4k]=0．
因为k＞0，所以x₂-x₁≠0．
所以（x₁+x₂）-2m+k²（x₁+x₂）+4k=0
即（1+k²）（x₁+x₂）+4k-2m=0．
所以(1+k2)(-

16k

3+4k2

)+4k-2m=0
解得m=-

2k

3+4k2

．即m=-

2

3 k +4k

．
因为k＞0，所以-

3

6

≤m＜0．
故存在满足题意的点P且m的取值范围是[-

3

6

，0)．（8分）
（Ⅲ）①当直线l₁斜率存在时，
设直线l₁方程为y=kx+2，代入椭圆方程

x2

4

+

y2

3

=1
得（3+4k²）x²+16kx+4=0．
由△＞0，得k2＞

1

4

．（9分）
设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
则x1+x2=-

16k

3+4k2

，x1x2=

4

3+4k2

．
又

MG

=λ

MH

，所以（x₁，y₁-2）=λ（x₂，y₂-2）．所以x₁=λx₂．（10分）
所以x₁+x₂=（1+λ）x₂，x₁x₂=λx₂²．
所以(

x1+x2

1+λ

)2=

x

2 2

=

x1x2

λ

．将上式代入整理得：

64

3 k2 +4

=

(1+λ)2

λ

．（11分）
因为k2＞

1

4

，所以4＜

64

3 k2 +4

＜16．即4＜

(1+λ)2

λ

＜16．
所以4＜λ+

1

λ

+2＜16．
解得7-4

3

＜λ＜7+4

3

．
又0＜λ＜1，所以7-4

3

＜λ＜1．（13分）
②又当直线l₁斜率不存在时，直线l₁的方程为x=0，
此时G(0，

3

)，H(0，-

3

)，

MG

=(0，

3

-2)，

MH

=(0，-

3

-2)，

MG

=

2- 3

2+ 3

MH

，所以λ=7-4

3

．所以7-4

3

≤λ＜1，即所求λ的取值范围是[7-4

3

， 1)．（14分）

点评：当直线与圆锥曲线相交时   涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化   同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．