Question

抛物线的方程是y²=2x，有一个半径为1的圆，圆心在x轴上运动问这个圆运动到什么位置时，圆与抛物线在交点处的切线互相垂直？（注：设P（x₀，y₀）是抛物线y²=2px上一点，则抛物线在P点处的切线斜率是

P

y0

）．

Answer 1

分析：设出圆的方程，再设圆与抛物线的一个交点为P进而可求得在P点圆半径的斜率和在P点抛物线的切线斜率的表达式，根据在P点抛物线的切线与圆的切线垂直，必须且只须圆的半径与抛物线在P点相切进而建立等式，把P点代入抛物线方程和椭圆方程，联立方程组可求得k，则圆的方程可得．

解答：解：设圆的方程为（x-k）²+y²=1
再设圆与抛物线的一个交点为P（x₀，y₀）
在P点圆半径的斜率=

y0

x0-k

．
在P点抛物线的切线斜率=

1

y0

在P点抛物线的切线与圆的切线垂直，必须且只须圆的半径与抛物线在P点相切，
∴

1

y0

=

y0

x0-k

．（1）
因P（x₀，y₀）是圆与抛物线的交点，
∴y₀²=2x₀．（2）
（x₀-k）²+y₀²=1．（3）
由（1）、（2）式消去y₀，得x₀=-k，
将（2）代入（3），得（x₀-k）²+2x₀-1=0，
将x₀=-k代入，得4k²-2k-1=0，
∴k=

1± 5

4

．
由于抛物线在y轴的右方，所以k=-x₀≤0
故根号前应取负号，即k=

1- 5

4

．故所求圆的方程为(x-

1- 5

4

)2+y2=1．
故圆心是（

1- 5

4

，0）时圆与抛物线在交点处的切线互相垂直

点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．解此类题应充分发挥判别式和韦达定理在解题中的作用．灵活应用数形结合的思想、函数思想、等价转化思想、分类讨论思想解题．