Question

【题目】如图，已知平面平面，直线平面，且．

（1）求证：DA∥平面；

（2）若，平面，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）过点作于点，由已知利用面面垂直的性质可得平面，结合平面，得，再由线面平行的判定可得平面；

（2）由已知证明四边形是矩形，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，分别求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．

（1）证明：过点E作于点，

∵平面平面，又平面平面平面，

∴平面，

又∵平面，∴，

∵平面，平面，

∴平面；

（2）∵平面，∴，

又∵，则，

∴点是的中点，连接，则，

∴平面，则．

∴四边形是矩形．

以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，

设，则，

设平面的一个法向量为，

∵，

由取，得；

又平面的一个法向量为，

设二面角的平面角为，

，，

二面角是钝角，则二面的余弦值为．