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设f(x)是x的三次多项式,已知
lim
x→2a
=
f(x)
x-2a
=
lim
x→4a
f(x)
x-4a
=1.试求
lim
x→3a
f(x)
x-3a
的值(a为非零常数).
分析:由题意可知f(x)必含有(x-2a)与(x-4a)的因式,由于f(x)是x的三次多项式,故可设f(x)=A(x-2a)(x-4a)(x-C).由
lim
x→2a
A(x-2a)(x-4a)(x-C)
x-2a
=
lim
x→2a
A(x-4a)(x-C)=1,得4a2A-2aCA=-1.同理,得8a2A-2aCA=1.从而得到
lim
x→3a
f(x)
x-3a
的值.
解答:解:由于
lim
x→2a
f(x)
x-2a
=1,可知f(2a)=0.①
同理f(4a)=0.②
由①②,可知f(x)必含有(x-2a)与(x-4a)的因式,
由于f(x)是x的三次多项式,故可设f(x)=A(x-2a)(x-4a)(x-C).
这里A、C均为待定的常数.
lim
x→2a
f(x)
x-2a
=1,即
lim
x→2a
A(x-2a)(x-4a)(x-C)
x-2a

=
lim
x→2a
A(x-4a)(x-C)=1,
得A(2a-4a)(2a-C)=1,
即4a2A-2aCA=-1.③
同理,由于
lim
x→4a
f(x)
x-4a
=1,
得A(4a-2a)(4a-C)=1,
即8a2A-2aCA=1.④
由③④得C=3a,A=
1
2
a
2
 

因而f(x)=
1
2a2
(x-2a)(x-4a)(x-3a).
lim
x→3a
f(x)
x-3a
=
lim
x→3a
1
2a2
(x-2a)(x-4a)
=
1
2a2
•a•(-a)=-
1
2
点评:本题考查数列的极限和性质,解题时要认真审题,仔细解答.
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