【题目】如图,已知在等腰梯形中,,,,,=60°,沿,折成三棱柱.
(1)若,分别为,的中点,求证:∥平面;
(2)若,求二面角的余弦值
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
分析:(1)取的中点,连接,,在三角形中,得到,证得平面,又由,分别为,的中点证得平面,即可证得面平面,利用面面平行的性质,即可得到平面.
(2)建立如图所示的空间直角坐标系,求得平面和平面的法向量,利用向量的夹角公式,即可求解二面角的余弦值.
详解:(1)取的中点,连接,,在三角形中,
∵,分别为,的中点,∴,
∵平面,平面,∴平面.
由于,分别为,的中点,由棱柱的性质可得,
∵平面,平面,∴平面.
又平面,平面,,
∴平面平面,∵平面,
∴平面.
(2)连接,在中,,,
∴,又,,
∴,∴,又且,
∴平面.
建立如图所示的空间直角坐标系,
可得,,,,
,,.
设平面的法向量为,
则,则,令,
得,则为平面的一个法向量,
设平面的法向量为,则,
则,令,得,
∴为平面的一个法向量.
设,所成角为,则,
由图可知二面角的余弦值为.
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【题目】某公司生产甲、乙两种产品所得利润分别为和(万元),它们与投入资金(万元)的关系有经验公式,.今将120万元资金投入生产甲、乙两种产品,并要求对甲、乙两种产品的投资金额都不低于20万元.
(Ⅰ)设对乙产品投入资金万元,求总利润(万元)关于的函数关系式及其定义域;
(Ⅱ)如何分配使用资金,才能使所得总利润最大?最大利润为多少?
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【题目】(10分)四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.
(1)求四面体ABCD的体积;
(2)证明:四边形EFGH是矩形.
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【题目】已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin (2x+),则下面结论正确的是( )
A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
D. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
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【题目】已知椭圆:的左、右焦点分别为,,在椭圆上(异于椭圆的左、右顶点),过右焦点作∠的外角平分线的垂线,交于点,且(为坐标原点),椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线:()与椭圆交于,两点,点关于轴的对称点为,直线交轴于,求当三角形的面积最大时,直线的方程.
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