Question

三棱柱ABC-A1B1

C

1

中，AA₁与AC、AB所成角均为60°，∠BAC=90°，且AB=AC=AA₁，则A₁B与AC₁所成角的余弦值为（　　）

A．1

B．-1

C． 3 3

D．- 3 3

Answer 1

连结A₁C，交AC₁于点E，取BC的中点D，连结AD、DE，
∵四边形AA₁C₁C是平行四边形，∴E是A₁C的中点
∵D是BC的中点，∴DE是△A₁BC的中位线，可得DE

∥

.

1

2

A₁B，
因此，∠AED（或其补角）就是异面直线A₁B与AC₁所成的角．
设AB=AC=AA₁=2，可得
∵∠A₁AB=60°，
∴△A₁AB是等边三角形，可得A₁B=2，得DE=

1

2

A₁B=1．
同理，等边△A₁AC中，中线AE=

3

2

A₁A=

3

，
又∵∠BAC=90°，AB=AC=2，D为BC中点，
∴AD=

1

2

BC=

1

2

AB2+AC2

=

2

由此可得△ADE中，cos∠AED=

AE2-ED2-AD2

2AE•ED

=

3+1-2

2× 3 ×1

=

3

3

．
即异面直线A₁B与AC₁所成角的余弦值为

3

3

．
故答案为：

3

3