Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的图象与X轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为

π

2

，且图象上一个最低点为M（

2π

3

，-2）
（Ⅰ）求f（x）的解析式．
（Ⅱ）求函教f（x）单调递减区间．

Answer 1

分析：（1）由题意可得A=2，周期T=

2π

ω

=

π

2

×2，解得ω=2，代入点（

2π

3

，-2）可得φ值，可得解析式；
（2）由复合函数的单调性，令2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

解之可得．

解答：解：（1）由题意可得A=2，周期T=

2π

ω

=

π

2

×2，解得ω=2，
故f（x）=2sin（2x+φ），代入点（

2π

3

，-2）可得
-2=2sin（2×

2π

3

+φ），解之可得2×

2π

3

+φ=2kπ-

π

2

，k∈Z
整理可得φ=2kπ-

11

6

π，当k=1时，φ=

π

6

满足0＜φ＜

π

2

，
故f（x）的解析式为：f（x）=2sin（2x+

π

6

），
（2）由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

可得
2kπ+

π

3

≤2x≤2kπ+

4π

3

，解之可得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
故函教f（x）单调递减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）

点评：本题考查三角函数的解析式的求解，涉及三角函数的单调性，属中档题．