分析 (1)求出椭圆的几何量,即可求C的方程;
(2)求出直线方程$y=\frac{4}{5}({x-3})$,代入C的方程,求出A,B坐标,即可确定结论.
解答 解:(1)由题意,a=5,c=3,b=4,
∴C的方程为$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$
(2)过点(3,0)且斜率为$\frac{4}{5}$的直线方程为$y=\frac{4}{5}({x-3})$,
设直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
将直线方程$y=\frac{4}{5}({x-3})$代入C的方程,得$\frac{x^2}{25}+\frac{{{{({x-3})}^2}}}{25}=1$,
即x2-3x-8=0,解得${x_1}=\frac{{3-\sqrt{41}}}{2}$,${x_2}=\frac{{3+\sqrt{41}}}{2}$,
∴AB的中点坐标$\overline x=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{3}{2}$,$\overline y=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=\frac{2}{5}({{x_1}+{x_2}-6})=-\frac{6}{5}$,
即中点为$({\frac{3}{2},-\frac{6}{5}})$.
点评 本题考查椭圆方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题.
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A. | $\frac{41}{4}$ | B. | -$\frac{41}{4}$ | C. | $\frac{9}{4}$ | D. | -$\frac{9}{4}$ |
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