Question

预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是P_n=P（1+k）ⁿ（k＞-1），其中P_n为预测期人口数，P为初期人口数，k为预测期内年增长率，n为预测期间隔年数．如果在某一时期有-1＜k＜0，那么在这期间人口数（ ）
A．呈上升趋势
B．呈下降趋势
C．摆动变化
D．不变

Answer 1

【答案】分析：由题设知P_n+1-P_n=P（1+k）ⁿ⁺¹-P（1+k）ⁿ=P（1+k）ⁿ（1+k-1）=P（1+k）ⁿ•k，由-1＜k＜0，知0＜1+k＜1．所以（1+k）ⁿ＞0．由此能求出P_n+1＜P_n．
解答：解：P_n+1-P_n=P（1+k）ⁿ⁺¹-P（1+k）ⁿ=P（1+k）ⁿ（1+k-1）=P（1+k）ⁿ•k，
∵-1＜k＜0，
∴0＜1+k＜1．
∴（1+k）ⁿ＞0．
又∵P＞0，k＜0，
∴P（1+k）ⁿ•k＜0．
即P_n+1-P_n＜0，
∴P_n+1＜P_n．
故选B．
解法二：由题意，k为预测期内年增长率，如果在某一时期有-1＜k＜0，即年增长率为负，故这期间人口数呈下降趋势，故选B
点评：本题考查数列的应用，是中档题．解题时要认真审题，注意题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．