Question

14．两个方程：x²-4x+a=0和x²-4x+b=0的四个根成等差数列，0＜a＜b，且首项为$\frac{1}{2}$，则a=$\frac{7}{4}$；b=$\frac{15}{4}$．

Answer 1

分析 设两个方程：x²-4x+a=0和x²-4x+b=0的四个根分别为x₁，x₂，x₃，x₄，利用根与系数的关系可得：x₁+x₂=4，x₁•x₂=a，x₃+x₄=4，x₃•x₄=b．由于四个根成等差数列{a_n}，0＜a＜b，且首项为$\frac{1}{2}$，可得x₁=$\frac{1}{2}$=a₁，a₄=4-$\frac{1}{2}$，解得公差d．即可得出．

解答 解：设两个方程：x²-4x+a=0和x²-4x+b=0的四个根分别为x₁，x₂，x₃，x₄．
∴x₁+x₂=4，x₁•x₂=a，x₃+x₄=4，x₃•x₄=b．
∵四个根成等差数列{a_n}，0＜a＜b，且首项为$\frac{1}{2}$，
则x₁=$\frac{1}{2}$=a₁，a₄=4-$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$=$\frac{1}{2}$+3d，解得d=1．
∴a₁=$\frac{1}{2}$，a₂=$\frac{3}{2}$，a₃=$\frac{5}{2}$，a₄=$\frac{7}{2}$，
∴a=$\frac{1}{2}×\frac{7}{2}$=$\frac{7}{4}$，$b=\frac{3}{2}×\frac{5}{2}$=$\frac{15}{4}$．
故答案分别为：$\frac{7}{4}$；$\frac{15}{4}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．