Question

（2007•南通模拟）袋中装有20个不同的小球，其中有n（n∈N*，n＞1）个红球，4个蓝球，10个黄球，其余为白球．已知从袋中取出3个颜色相同的彩球（不是白球）的概率为

31

285

．
（Ⅰ）求袋中的红球、白球各有多少个？
（Ⅱ）从袋中任取3个小球，求其中一定有红球的概率．

Answer 1

分析：（I）设“从袋中任取3球全心红球”、“从袋中任取3球全为蓝球”、“从袋中任取3球全黄球”分别为事件A，B，C，由题意知，A，B，C两两互斥，先求出P（B） 和P（C）的值，根据 P（A）+P（B）+P（C）=

31

285

，求出P（A），从而得到n的值及白球的数量．
（Ⅱ）所求的事件的概率等于用1减去它的对立事件概率．它的对立事件为：从袋中任取3个小球，其中一定没有
红球．

解答：解：（I）设“从袋中任取3球全心红球”、“从袋中任取3球全为蓝球”、“从袋中任取3球全黄球”分别为事件A，B，C，由题意知，A，B，C两两互斥，则P(B)=

C 3 4

C 3 20

=

1

285

，P(C)=

C 3 10

C 3 20

=

30

285

．…（4分）
故从袋中取出成3个都是相同颜色彩球（不是白球）的概率为P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=

31

285

，
∴P(A)=

31

285

-[P(B)+P(C)]=0．…（6分）
由此得出袋中取3球不可能全为红球，从而n≤2，又n∈N^*，n＞1，故n=2．
故袋中有2个红球4个白球 …（8分）
（II）设“从袋中任取3个小球，其中一定有红球”为事件D，则P(D)=1-P(

.

D

)=P(D)=1-P(

.

D

)=1-

C 3 18

C 3 20

=

27

95

．
故从袋中任取3个小球，一定有红球的概率为

27

95

．…（14分）

点评：本题主要考查等可能事件的概率，互斥事件的概率加法公式，所求的事件的概率等于用1减去它的对立事件概率．