Question

已知⊙C过点P（1，1），且与⊙M：（x+2）²+（y-2）²=r²（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．
（1）设Q为⊙C上的一个动点，求

PQ

•

MQ

的最小值；
（2）过点P作两条相异直线分别与⊙C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）设圆心C的坐标，利用对称的特征：①点与对称点连线的中点在对称轴上；②点与对称点连线的斜率与对称轴的斜率之积等于-1，求出圆心坐标，
又⊙C过点P（1，1），可得半径，从而写出⊙C方程．设Q的坐标，用坐标表示两个向量的数量积，化简后再进行三角代换，可得其最小值．
（2）设出直线PA和直线PB的方程，将它们分别与⊙C的方程联立方程组，并化为关于x的一元二次方程，由x=1一定是该方程的解，可求得A，B的横坐标
（用k表示的），化简直线AB的斜率，将此斜率与直线OP的斜率作对比，得出结论．

解答：解：（1）设圆心C（a，b），半径为r，则由题意可得

a-2 2 + b-2 2 +2=0 b+2 a+2  =1

，求得

a=0 b=0

．
再由r=|CP|=

2

，可得圆C的方程为  x²+y²=2．
设Q（x，y），由于点M（-2，2），∴

PQ

•

MQ

=（x-1，y-1）•（x+2，y+2）=x²+y²+x+y-4=x+y-2．
令x=

2

cosθ，y=

2

sinθ，则 x+y-2=2sin（θ+

π

4

）-2，故它的最小值为-2-2=-4．
（2）由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，
故可设PA：y-1=k（x-1），PB：y-1=-k（x-1），由

y-1=k(x-1) x2+y2=2

，求得（1+k²）x²+2k（1-k）x+（1-k）²-2=0．
因为点P的横坐标x=1一定是该方程的解，故可得 x_A=

k2-2k-1

1+k2

．
同理，x_B=

k2+2k-1

1+k2

，所以K_AB=

yB-yA

xB-xA

=

-k(xB-1)-k(xA-1)

xB-xA

=

2k-k(xB+xA)

xB-xA

=1=k_OP ，
所以，直线AB和OP一定平行．

点评：本题考查圆的标准方程的求法，两个向量的数量积公式的应用，直线与圆的位置关系的应用，属于中档题．