Question

（1）已知点A是曲线ρ=2sinθ上任意一点，则点A到直线的距离的最小值是________．
（2）已知2x+y=1，x＞0，y＞0，则的最小值是________．
（3）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，BE∥MN交AC于点E．若AB=6，BC=4，则AE的长为________．

Answer 1

解：（1）曲线ρ=2sinθ 即 ρ²=2ρ sinθ，x²+y²=2y，x²+（y-1）²=1，
表示以（0，1）为圆心，以1为半径的圆．
直线 即 ρsinθ+cosθ=4，x+y-8=0．
圆心到直线的距离等于 =，故点A到直线的距离的最小值是 -1=，
故答案为 ．
（2）=+=+=++5≥2+5=9，
故 的最小值是 9，故答案为 9．
（3）由题意得∠BCM=∠CBE=∠BAC，∠BCE=∠ACB，∴△ABC∽△BEC，
∴=，=，∴CE=，AE=AC-CE=6-=，
故答案为 ．
分析：（1）把极坐标方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，最小距离等于圆心到直线的距离减去半径．
（2）由题意得 =+=+=++5，利用基本不等式求最小值．
（3）由题意得∠BCM=∠CBE=∠BAC，∠BCE=∠ACB，根据△ABC∽△BEC，对应边成比例，求出 CE 的长，即可得到AE的长．
点评：本题考查把极坐标方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系；基本不等式的应用，利用三角形相似求线段的长度．