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    已知展开式
    sinx
    x
    =1-
    x2
    3!
    +
    x4
    5!
    -
    x6
    7!
    +…对x∈R且x≠0恒成立，方程
    sinx
    x
    =0有无究多个根：±π，±2π，…±nπ，…，则1-
    x2
    3!
    +
    x4
    5!
    -
    x6
    7!
    +…=(1-
    x2
    π2
    )(1-
    x2
    22π2
    )…(1-
    x2
    n2π2
    )    …，比较两边x2的系数可以推得1+
    1
    22
    +
    1
    32
    +…+
    1
    n2
    +…=
    π2
    6
    ．设代数方程1-a1x2+a2x4-…+（-1）nanx2n=0有2n个不同的根：±x1，±x2，…±xn，类比上述方法可得a1=
    （
    1
    x
    2
    1
    +
    1
    x
    2
    2
    +…+
    1
    x
    2
    n
    ）
    （
    1
    x
    2
    1
    +
    1
    x
    2
    2
    +…+
    1
    x
    2
    n
    ）
    ．（用x1，x2，…，xn表示）
    分析：由已知中式
    sinx
    x
    =1-
    x2
    3!
    +
    x4
    5!
    -
    x6
    7!
    +…对x∈R且x≠0恒成立，方程
    sinx
    x
    =0有无究多个根：±π，±2π，…±nπ，…，则，1-
    x2
    3!
    +
    x4
    5!
    -
    x6
    7!
    +…=(1-
    x2
    π2
    )(1-
    x2
    22π2
    )…(1-
    x2
    n2π2
    )    …，比较两边x2的系数可以推得1+
    1
    22
    +
    1
    32
    +…+
    1
    n2
    +…=
    π2
    6
    ．类比推理可由代数方程1-a1x2+a2x4-…+（-1）nanx2n=0有2n个不同的根：±x1，±x2，…±xn，转化 为1-a1x2+a2x4-…+（-1）nanx2n=(1-
    1
    x
    2
    1
    )(1-
    1
    x
    2
    2
    )…(1-
    1
    x
    2
    n
    )    ，比较两边x2的系数即可得到答案．
    解答：解：由1-
    x2
    3!
    +
    x4
    5!
    -
    x6
    7!
    +…=(1-
    x2
    π2
    )(1-
    x2
    22π2
    )…(1-
    x2
    n2π2
    )    中，
    比较两边x2的系数可以推得：1+
    1
    22
    +
    1
    32
    +…+
    1
    n2
    +…=
    π2
    6
    ．
    类比揄代数方程1-a1x2+a2x4-…+（-1）nanx2n=0有2n个不同的根：±x1，±x2，…±xn，
    即1-a1x2+a2x4-…+（-1）nanx2n=(1-
    1
    x
    2
    1
    )(1-
    1
    x
    2
    2
    )…(1-
    1
    x
    2
    n
    )    中，
    比较两边x2的系数可以推得：a1=（
    1
    x
    2
    1
    +
    1
    x
    2
    2
    +…+
    1
    x
    2
    n
    ）
    故答案为：（
    1
    x
    2
    1
    +
    1
    x
    2
    2
    +…+
    1
    x
    2
    n
    ）
    点评：本题考查的知识点是类比推理，其中由已知根据方程根的形式，将一个累加式变成一个累乘式，用到一次类比推理；现时观察两边x2的系数得到结论，又用到一次类比，故难较大．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设代数方程a0-a1x2+a2x4-…+（-1）nanx2n=0有2n个不同的根±x1，±x2，…，±xn，则a0-a1x2+a2x4-…+(-1)nanx2n=a0(1-
    x2
    x
    2
    1
    )(1-
    x2
    x
    2
    2
    )•…•(1-
    x2
    x
    2
    n
    )    ，比较两边x2的系数得a1=
    a0(
    1
    x
    2
    1
    +
    1
    x
    2
    2
    +…+
    1
    x
    2
    n
    )
    a0(
    1
    x
    2
    1
    +
    1
    x
    2
    2
    +…+
    1
    x
    2
    n
    )
    （用a0•x1•x2•…•xn表示）；若已知展开式
    sinx
    x
    =1-
    x2
    3!
    +
    x4
    5!
    -
    x6
    7!
    +…    对x∈R，x≠0成立，则由于
    sinx
    x
    =0    有无穷多个根：±π，±2π，…，+±nπ，…，于是1-
    x2
    3!
    +
    x4
    5!
    -
    x6
    7!
    +…=(1-
    x2
    π2
    )(1-
    x2
    22•π2
    )•…•(1-
    x2
    n2π2
    )•…    ，利用上述结论可得1+
    1
    22
    +
    1
    32
    +…+
    1
    n2
    +…    =
    π2
    6
    π2
    6
    ．

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