Question

1．已知函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a（其中a为常数）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，f（x）的最大值为4，求a的值；
（3）求出使f（x）取最大值时x的取值集合．

Answer 1

分析 （1）直接由复合函数的单调性求得f（x）的单调区间；
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，f（x）的最大值为4列式求得a值；
（3）由相位的终边落在y轴正半轴上求得使f（x）取最大值时x的取值集合．

解答 解：（1）由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，解得$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ，k∈Z$，
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，解得$\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{4π}{3}+kπ，k∈Z$．
∴f（x）的单调增区间为[$-\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ$]（k∈Z），减区间为[$\frac{π}{6}+kπ，\frac{4π}{3}+kπ$]（k∈Z）；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}$]，f（x）的最大值为2+a=4，即a=2；
（3）当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}+2kπ$，即x=$\frac{π}{6}+kπ，k∈Z$时，f（x）取最大值，
∴使f（x）取最大值时x的取值集合为{x|x=$\frac{π}{6}+kπ，k∈Z$}．

点评 本题考查正弦函数的单调性，考查了与正弦函数有关的复合函数最值的求法，是基础题．