Question

13．设各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，已知数列{$\sqrt{{S}_{n}}$}是首项为1，公差为1的等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令$\frac{1}{{b}_{n}}$=a_n•a_n+1，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）由数列{$\sqrt{{S}_{n}}$}是首项为1，公差为1的等差数列．可得S_n=n²．利用递推公式即可得出．
（II）$\frac{1}{{b}_{n}}$=a_n•a_n+1=（2n-1）（2n+1），可得b_n=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（I）∵数列{$\sqrt{{S}_{n}}$}是首项为1，公差为1的等差数列．
∴$\sqrt{{S}_{n}}$=1+（n-1）=n，∴S_n=n²．
当n=1时，a₁=S₁=1；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
n=1时适合上式，∴a_n=2n-1．
（II）$\frac{1}{{b}_{n}}$=a_n•a_n+1=（2n-1）（2n+1），可得b_n=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了递推公式、等差数列的通项公式、“裂项求和”飞，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．