Question

11．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=1，a_n+1=S_n+1（n∈N⁺）
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}是等差数列，前n项和为T_n，若T₃=30，b_n≥0（n∈N⁺）且a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，求T_n．
（3）证明：$\frac{{T}_{n}}{{a}_{n}}$≤9（n∈N⁺）

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=S_n⁺¹，得：n≥2时，a_n=S_n-1⁺¹，两式相减后，结合等比数列的定义，可得{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的公差为d，根据T₃=30，a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，可得d=2，进而得到T_n．
（3）由（1）（2）得$\frac{{T}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{{n}^{2}+7n}{{2}^{n-1}}$，进而$\frac{{T}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$-$\frac{{T}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{{-n}^{2}-5n+7}{{2}^{n}}$，结合二次函数的图象和性质，可得当n=2时，$\frac{{T}_{n}}{{a}_{n}}$取最大值9，进而得到结论．

解答 解：（1）∵a_n+1=S_n⁺¹，…①
∴n≥2时，a_n=S_n-1⁺¹，…②
①-②得：a_n+1-a_n=a_n，
即a_n+1÷a_n=2，
又∵a₁=1，
∴数列{a_n}是以1为首项以2为公比的等比数列，故a_n=2^n-1，
（2）设数列{b_n}的公差为d，d＞0，
∵T₃=3b₂=30，
∴b₂=10，
∴b₁=10-d，b₃=10+d，
∵a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，
∴11-d，12，14+d成等比数列，
即（11-d）（14+d）=144，
解得：d=2，或d=-5（舍去），
故数列{b_n}是首项为8，公差为2的等差数列，
∴T_n=n²+7n，
证明：（3）∵$\frac{{T}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{{n}^{2}+7n}{{2}^{n-1}}$，
∴$\frac{{T}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$-$\frac{{T}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{{（n+1）}^{2}+7（n+1）}{{2}^{n}}$-$\frac{{n}^{2}+7n}{{2}^{n-1}}$=$\frac{{-n}^{2}-5n+7}{{2}^{n}}$，
当n=1时，$\frac{{T}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$-$\frac{{T}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$＞0，
当n≥2时，$\frac{{T}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$-$\frac{{T}_{n}}{{a}_{n}}$＜0，
故当n=2时，$\frac{{T}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{{n}^{2}+7n}{{2}^{n-1}}$=9为最大值，
即$\frac{{T}_{n}}{{a}_{n}}$≤9（n∈N⁺）

点评 本题考查的知识是数列求和，数列最大值求法，等差数列和等比数列的通项公式及性质，难度中档．