Question

已知数列a_n=2n-1，数列{b_n}的前n项和为T_n，满足T_n=1-b_n
（I）求{b_n}的通项公式；
（II）在{a_n}中是否存在使得

1

an+9

是{b_n}中的项，若存在，请写出满足题意的一项（不要求写出所有的项）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）由题意可知b1=

1

2

．b_n=b_n-1-b_n，故b_n为首项和公比均为

1

2

的等比数列，由此能够求出{b_n}的通项公式．
（II）由题意可知2m-1+9=2ⁿ，∴m=2ⁿ-4（n≥3，n∈N），由此能够写出满足题意的一项．

解答：解：（I）当n=1时，∵B₁=T₁=1-b₁，
∴b1=

1

2

．当n≥2时，
∵T_n=1-b_n，∴T_n-1=1-b_n-1，
两式相减得：b_n=b_n-1-b_n，即：bn=

1

2

bn-1，
故b_n为首项和公比均为

1

2

的等比数列，∴bn=(

1

2

)n．
（II）设a_n中第m项a_m满足题意，即

1

am+9

=(

1

2

)n，
即2m-1+9=2ⁿ，∴m=2ⁿ-4（n≥3，n∈N）
∴a₄=7．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意运算能力的培养．