Question

4．已知向量$\overrightarrow{a}$=（3，-1），|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{5}$，$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=-5，$\overrightarrow{c}$=x$\overrightarrow{a}$+（1-x）$\overrightarrow{b}$．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{a}$$⊥\overrightarrow{c}$，求实数x的值；
（Ⅱ）当|$\overrightarrow{c}$|取最小值时，求$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$的夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据向量的数量积和向量的模，先求出$\overrightarrow{b}$，再根据向量的垂直即可求出x的值，
（Ⅱ）根据二次函数的性质即可求出x的值，再根据向量的夹角公式即可求出．

解答 解：（Ⅰ）设$\overrightarrow{b}$=（m，n），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+{n}^{2}=5}\\{3m-n=-5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=-1}\end{array}\right.$，
当$\overrightarrow{b}$=（-1，2）时，
∴$\overrightarrow{c}$=x（3，-1）+（1-x）（-1，2）=（4x-1，2-3x），
∵$\overrightarrow{a}$$⊥\overrightarrow{c}$，
∴3（4x-1）-（2-3x）=0，
解得x=$\frac{1}{3}$，
当$\overrightarrow{b}$=（-2，-1）时，
∴$\overrightarrow{c}$=x（3，-1）+（1-x）（-2，-1）=（5x-2，-1），
∵$\overrightarrow{a}$$⊥\overrightarrow{c}$，
∴3（5x-2）+1=0，
解得x=$\frac{1}{3}$，
（Ⅱ）设$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$的夹角θ
由（Ⅰ）可知，当$\overrightarrow{b}$=（-1，2）时，$\overrightarrow{c}$=（4x-1，2-3x），
则|$\overrightarrow{c}$|²=（4x-1）²+（2-3x）²=25x²-20x+5=25（x-$\frac{2}{5}$）²+1，
当x=$\frac{2}{5}$时，|$\overrightarrow{c}$|取最小值，则|$\overrightarrow{c}$|=1，$\overrightarrow{c}$=（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），
∴$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$=-$\frac{3}{5}$+$\frac{8}{5}$=1，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{5}$
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{c}|}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
当$\overrightarrow{b}$=（-2，-1）时，$\overrightarrow{c}$=（5x-2，-1），
则|$\overrightarrow{c}$|²=（5x-2）²+（-1）²=25（x-$\frac{2}{5}$）²+1，
当x=$\frac{2}{5}$时，|$\overrightarrow{c}$|取最小值，则|$\overrightarrow{c}$|=1，$\overrightarrow{c}$=（0，-1），
∴$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$=1，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{5}$
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{c}|}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$

点评 本题考查了向量的数量积的运算和向量的垂直以及二次函数的性质，属于中档题．