Question

过椭圆C：的右焦点F₂引直线l，与C的右准线交于A点，与C交于B、C两点，与y轴交于D点，若，则C的离心率为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：由题意可得C的右准线方程为：x=，由可求得点A，B，C的横坐标，利用椭圆的第二定义可求得|BF₂|，|CF₂|，设B、C在x轴上的射影依次为B₁、C₁，由△BB₁F₂与△CC₁F₂相似可得-x_C=2（x_B-），从而可得答案．
解答：依题意得x_A-x_B=x_B-x_C=x_C-x_D，又x_D=0，
∵C的右准线方程为：x=，
∴x_A=，又x_A=2x_B-x_C=2×2x_C-x_C=3x_C，
∴x_C=x_A=，x_B=，则由椭圆的第二定义知
|BF₂|=，|CF₂|=，即|CF₂|=2|BF₂|，
设B、C在x轴上的射影依次为B₁、C₁，易知△BB₁F₂与△CC₁F₂相似，
从而-x_C=2（x_B-），即c-=2（-c），
∴=，
∴e=
故选B．
点评：本题考查椭圆的简单性质，用向量作为杠杆，求得点A，B，C的横坐标是关键，也是难点，考查分析转化与运算的能力，属于难题．