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    【题目】已知椭圆：的离心率为，以短轴端点和焦点为顶点的四边形的周长为.

    （Ⅰ）求椭圆的标准方程及焦点坐标.

    （Ⅱ）过椭圆的右焦点作轴的垂线，交椭圆于、两点，过椭圆上不同于点、的任意一点，作直线、分别交轴于、两点.证明：点、的横坐标之积为定值.

    【答案】(Ⅰ) 标准方程为，焦点坐标为.(Ⅱ)证明见解析.

    【解析】分析：（Ⅰ）由题意可得，.则所以椭圆的标准方程为，焦点坐标为.

    （Ⅱ）由题意可知的方程为：，的方程为：，则，.结合椭圆方程计算可得为定值.

    详解：

    （Ⅰ）由题知，又因为离心率，所以，则.

    所以椭圆的标准方程为，焦点坐标为.

    （Ⅱ）、两点的横坐标之积为定值，且定值为3.

    设点，，.

    则的方程为：，①

    的方程为：，②

    联立①②得，.

    所以 ，

    又因为，

    .

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    【题目】某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了月日至月日的每天昼夜温差与实验室每天每颗种子中的发芽数，得到如下资料：

    日期

    月日

    月日

    月日

    月日

    月日

    温差

    发芽数（颗）

    该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取组，用剩下的组数据求线性回归方程，再对被选取的组数据进行检验.

    （1）求选取的组数据恰好是不相邻天数据的概率；

    （2）若选取的是月日与月日的两组数据，请根据月日至月日的数据，求出关于的线性回归方程；

    （3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？

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    【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

    在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，且），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.

    （1）将曲线的参数方程化为普通方程，并将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；

    （2）求曲线与曲线交点的极坐标.

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    【题目】（本小题满分14分）如图，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，，，．

    （1）证明：平面；

    （2）证明：；

    （3）求点到平面的距离．

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    【题目】已知函数.

    （1）若函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围；

    （2）对于任意的正实数，且，求证：.

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    【题目】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：

    记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于”，根据直方图得到的估计值为.

    （1）求乙离子残留百分比直方图中的值；

    （2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.

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    【题目】已知直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线的极坐标方程为.

    （1）若直线的斜率为，判断直线与曲线的位置关系；

    （2）求与交点的极坐标（，）.

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    【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

    在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.

    （1）求曲线和直线在该直角坐标系下的普通方程；

    （2）动点在曲线上，动点在直线上，定点的坐标为，求的最小值.

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