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19.下列五种说法:
①函数y=$\frac{{x}^{2}-x+4}{x-1}$(x>1)的最小值为5;
②y=tan(2x+$\frac{π}{3}$)周期为π.
③已知△ABC中,∠B=$\frac{π}{4}$,a=4$\sqrt{3}$,b=4$\sqrt{2}$,则∠A=$\frac{π}{3}$.
④若cos2α=0,则cosα=sinα.
⑤y=$\frac{{{{(sinx)}^2}+2}}{sinx}$,x∈(0,π),则y的最小值为2$\sqrt{2}$.
其中正确的命题是①.

分析 ①利用基本不等式进行求解判断,
②根据正切函数的周期公式进行判断,
③根据正弦定理进行求解判断,
④根据余弦函数的性质进行求解,
⑤利用基本不等式成立的条件进行判断.

解答 解:①函数y=$\frac{{x}^{2}-x+4}{x-1}$=$\frac{(x-1)^{2}+(x-1)+4}{x-1}$=(x-1)+$\frac{4}{x-1}$+1,
∵x>1,∴x-1>0,
则(x-1)+$\frac{4}{x-1}$+1≥1+2$\sqrt{(x-1)•\frac{4}{x-1}}$=1+4=5当且仅当x-1=$\frac{4}{x-1}$,即x-1=2,x=3时取等号,故函数的最小值为5正确,故①正确;
②y=tan(2x+$\frac{π}{3}$)周期为T=$\frac{π}{2}$,故②错误,
③已知△ABC中,∠B=$\frac{π}{4}$,a=4$\sqrt{3}$,b=4$\sqrt{2}$,则$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$得sinA=$\frac{asinB}{b}$=$\frac{4\sqrt{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,则∠A=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$,故③错误.
④若cos2α=0,则2α=2kπ±$\frac{π}{2}$,即a=kπ±$\frac{π}{4}$,则tanα=±1,即cosα=±sinα,故④错误,
⑤y=$\frac{{{{(sinx)}^2}+2}}{sinx}$=sinx+$\frac{2}{sinx}$≥2$\sqrt{sinx•\frac{2}{sinx}}$=2$\sqrt{2}$,当且仅当sinx=$\frac{2}{sinx}$,即sinx=$\sqrt{2}$,此时sinx=$\sqrt{2}$不成立,则y的最小值为2$\sqrt{2}$错误,故⑤错误,
故答案为:①.

点评 本题主要考查命题的真假判断,涉及基本不等式的应用,三角函数的图象和性质,正弦定理的应用,涉及的知识点较多,综合性较强,但难度不大.

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