Question

设M为平面内一些向量组成的集合，若对任意正实数t和向量a∈M，都有ta∈M，则称M为“点射域”．现有下列平面向量的集合：
①{（x，y）|x²≥y}；
②{（x，y）|

x+y≥0 x+y≤0

}；
③{（x，y）|x²+y²-2x≥0}；
④{（x，y）|3x²+2y²-6＜0}．
上述为“点射域”的集合有

②

（写出所有正确命题的序号）．

Answer 1

分析：根据“点射域”的定义，分别推导t

a

∈M是否成立．

解答：解：设

a

=(x，y)，则t

a

=(tx．ty)．
①若

a

∈{（x，y）|x²≥y}；若t

a

∈{（x，y）|x²≥y}，即（tx）²≥ty，
 因为t＞0，整理得tx²≥y．显然当t≠1时，tx²≥y与x²≥y不是同解不等式，所以①不是“点射域”．
②若

a

∈{（x，y）|

x+y≥0 x+y≤0

}，则有

x+y≥0 x+y≤0

，若t

a

∈{（x，y）|

x+y≥0 x+y≤0

}，则有

tx-ty≥0 tx+ty≥0

，
因为t＞0，所以不等式等价为

x+y≥0 x+y≤0

，由题意可知②是“点射域”．
③若

a

∈{（x，y）|x²+y²-2x≥0}，则x²+y²-2x≥0，若t

a

∈{（x，y）|x²+y²-2x≥0}，则有（tx）²+（ty）²-2tx≥0，
因为t＞0，所以不等式等价tx²+ty²-2x≥0，显然当t≠1时，两不等式不是同解不等式，所以③不是“点射域”．
④若

a

∈{（x，y）|3x²+2y²-6＜0}，则有3x²+2y²-6＜0．若t

a

∈{（x，y）|3x²+2y²-6＜0}，
则3（tx）²+2（ty）²-6＜0，显然当t≠1时，两不等式不是同解不等式，所以④不是“点射域”．
故答案为：②．

点评：本题主要考查了新定义的应用，正确理解新定义的信息，并按照定义进行推导是解决这类问题的关键，综合性较强，难度较大．