Question

21.在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线相交于A、B两点.

(Ⅰ)若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB 面积的最小值;

(Ⅱ)是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程;若不存在，说明理由.(此题不要求在答题卡上画图)

Answer 1

本小题主要考查直线、圆和抛物线平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力.

解法1：(Ⅰ)依题意，点N的坐标为N(0，-p)，可设A(x₁·y₁)，B(x₂,y₂),直线AB的方程为y=kx+p,与x²=2py联立得消去y得x²-2pkx-2p²=0.

由韦达定理得x₁+x₂=2pk,x₁x₂=-2p².

于是S_△ABN=S_△BCN+S_△ACN =

=p|x₁-x₂|=

，

∴当k=0时，.

(Ⅱ)假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，设AC的中点为O′,l与以AC为直径的圆相交于点P、Q，PQ的中点为H，则O′H⊥PQ, O′点的坐标为。

∵

，

，

 ∴

，

∴|PQ|²=(2|PH|)²

.

令，得，此时|PQ|=p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为。

即抛物线的通径所在的直线。

解法2：(Ⅰ)前同解法1,再由弦长公式得

，

又由点到直线的距离公式得，

从而，

，

∴当k=0时，。

(Ⅱ)假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，则以AC为直径的圆的方程为

(x-0)(x-x₁)+(y-p)(y-y₁)=0,将直线方程y=a代入得

x²-x₁x+(a-p)(a-y₁)=0,则

.

设直线l与 以AC为直径的圆的交点为P(x₃,y₃),Q(x₄,y₄)则有

，

 令，得，此时|PQ|=p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为，

即抛物线的通径所在的直线。