Question

若a，b是任意非零的常数，对于函数y=f（x）有以下5个命题：
①f（x）是T=2a的周期函数的充要条件是f（x+a）=f（x-a）；
②f（x）是T=2a的周期函数的充要条件是f（x+a）=-f（x）；
③若f（x）关于直线x=

a

2

对称，且f（x+a）=-f（x），则f（x）是奇函数；
④若f（x）是奇函数且是T=2a的周期函数，则f（x）的图形关于直线x=

a

2

 对称；
⑤若f（x）关于点（a，0）对称，关于直线x=b对称，则f（x）是T=4（a-b）的周期函数．
其中正确命题的序号为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：根据函数周期性的定义及充要条件的定义，逐一判断5个命题的真假，综合讨论结果，可得答案．

解答： 解：对于①，f（x+a）=f（x-a）时，f（x+2a）=f（x），f（x）是T=2a的周期函数，充分性成立；
反之，若f（x）是T=2a的周期函数，则f（x+a）=f（x-a）一定成立，必要性成立，故f（x）是T=2a的周期函数的充要条件是f（x+a）=f（x-a），①正确；
对于②，当f（x+a）=-f（x）时，f（x+2a）=f（x），f（x）是T=2a的周期函数，必要性成立；反之，f（x）是T=2a的周期函数时，f（x+a）=-f（x）不一定成立，即充分性不成立；故f（x）是T=2a的周期函数的必要不充分条件是f（x+a）=-f（x），故②错误；
对于③，若f（x）关于直线x=

a

2

对称，则f（a+x）=f（-x），又由f（x+a）=-f（x），可得f（x）=-f（-x），即f（x）是奇函数，故③正确；
对于④，若f（x）是奇函数且是T=2a的周期函数，则f（x）的图形不一定是轴对称图象，故④错误； 
对于⑤，由条件图象关于点（a，0）对称，故-f（x）=f（2a-x），
又图象关于直线x=b对称，f（2b-x）=f（x），
所以，-f（2b-x）=f（2b-x），即-f（x）=f（2a-2b+x）．
由-f（x）=f（2a-2b+x） 得：
-f（2a-2b+x）=f（4a-4b+x），
∴-（-f（x））=f（4a-4b+x），
因此，f[4（a-b）+x]=f（x），
所以，f（x）是以4（a-b）为周期的函数．故⑤正确
故答案为：①③⑤．

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了函数的周期性的性质，熟练掌握函数周期性的判定方法是解答的关键，属于难题．