Question

在高为1的直四棱柱ABCD-A'B'C'D'中，底面ABCD是等腰梯形，AB=BC=CD=1，AD=2． 
（1）求异面直线BC'与CD'所成的角；
（2）求被截面ACD'所截的两部分几何体的体积比．

Answer 1

分析：（1）设AD的中点为E，A'D'的中点为E'，连接BE'．由题意证出BCDE-B'C'D'E'是底面为菱形的直四棱柱，可得
∠E'BC'是异面直线BC'与CD'所成的角．在△BC'E'中，利用余弦定理加以计算，即可得到异面直线BC'与CD'所成的角是arccos

3

4

．
（2）由锥体的体积公式，算出三棱锥D'-ACD的体积，再用四棱柱ABCD-A'B'C'D'的体积减去三棱锥D'-ACD的体积，将三棱锥D'-ACD的体积与作减法所得到的体积求比值，即可得到所求体积比．

解答：解：（1）由已知ABCD和A'B'C'D'是全等的底角为60°的等腰梯形，
B'BCC'和C'CDD'是边长为1的正方形．
设AD的中点为E，A'D'的中点为E'，连接BE'．
∵BCDE-B'C'D'E'是底面为菱形的直四棱柱，
∴BE'∥CD'，∠E'BC'是异面直线BC'与CD'所成的角．
∵在△BC'E'中，BC′=BE′=

2

 ， C′E′=1，cos ∠ E′BC′=

2+2-1

2× 2 × 2

=

3

4

，
∴异面直线BC'与CD'所成的角是arccos

3

4

．
（2）求被截面ACD'所截的两部分几何体的体积比．
∵V_D'-ACD=

1

3

×

1

2

×

3

×1×1=

3

6

，V_ABCD-A'B'C'D'=

1+2

2

×

3

2

×1=

3 3

4

，
V_ABCD-A'B'C'D'-V_D'-ACD=

3 3

4

-

3

6

=

7 3

12

，
∴被截面ACD'所截的两部分几何体的体积比是

3

6

：

7 3

12

=2：7．

点评：本题在特殊的四棱柱中求异面直线所成角，并求被截面分成的两部分的体积之比．着重考查了异面直线所成角的定义与求法和柱体、锥体体积求法等知识，属于中档题．