Question

已知圆F₁：（x+1）²+y²=16，定点F₂（1，0），动圆过点F₂，且与圆F₁相内切．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）若过原点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，且△ABF₁的面积为

3

2

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）设出M的半径，依据题意列出关系MF₁+MF₂=4，可求轨迹C的方程．
（2）根据椭圆性质以及△ABF₁的面积为

3

2

，可以求得A、B的坐标，再求直线l的方程．

解答：解：（1）设圆M的半径为r．
因为圆过点F₂，且与圆F₁相内切．
所以MF₂=r，
所以MF₁=4-MF₂，即：MF₁+MF₂=4，
所以点M的轨迹C是以F₁，F₂为焦点的椭圆且设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
其中2a=4，c=1，所以a=2，b=

3

，
所以曲线C的方程

x2

4

+

y2

3

=1．

（2）因为直线l过椭圆的中心，由椭圆的对称性可知，S△ABF1=2S△aoF1，
因为S△ABF1=

3

2

，所以S△AOF1=

3

4

．
不妨设点A（x₁，y₁）在x轴上方，则S△AOF1=

1

2

•OF1•y1=

3

4

．
所以y1=

3

2

，x1=±

3

，即：点A的坐标为(

3

，

3

2

)或(-

3

，

3

2

)．
所以直线l的斜率为±

1

2

，故所求直线方和程为x±2y=0．

点评：本题考查圆与圆的位置关系，考查转化思想，椭圆的定义，是中档题．