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精英家教网已知圆F1:(x+1)2+y2=16,定点F2(1,0),动圆过点F2,且与圆F1相内切.
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)若过原点的直线l与(1)中的曲线C交于A,B两点,且△ABF1的面积为
3
2
,求直线l的方程.
分析:(1)设出M的半径,依据题意列出关系MF1+MF2=4,可求轨迹C的方程.
(2)根据椭圆性质以及△ABF1的面积为
3
2
,可以求得A、B的坐标,再求直线l的方程.
解答:解:(1)设圆M的半径为r.
因为圆过点F2,且与圆F1相内切.
所以MF2=r,
所以MF1=4-MF2,即:MF1+MF2=4,
所以点M的轨迹C是以F1,F2为焦点的椭圆且设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)

其中2a=4,c=1,所以a=2,b=
3

所以曲线C的方程
x2
4
+
y2
3
=1


(2)因为直线l过椭圆的中心,由椭圆的对称性可知,S△ABF1=2S△aoF1
因为S△ABF1=
3
2
,所以S△AOF1=
3
4

不妨设点A(x1,y1)在x轴上方,则S△AOF1=
1
2
•OF1y1=
3
4

所以y1=
3
2
x1
3
,即:点A的坐标为(
3
3
2
)
(-
3
3
2
)

所以直线l的斜率为±
1
2
,故所求直线方和程为x±2y=0.
点评:本题考查圆与圆的位置关系,考查转化思想,椭圆的定义,是中档题.
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