Question

【题目】已知函数，，．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若恒成立，，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在单调递减；（2）的最大值为.

【解析】

（1）对函数进行求导，分和两种情况利用导数判断函数的单调性；

（2）恒成立等价于对任意恒成立，结合（1）中的结论，分和两种情况分别求出函数的最大值，并满足，据此得到关于的不等式，进而求出的最大值即可.

（1）因为函数，，，

所以，，

当时，在上恒成立，

所以函数在上单调递增；

当时，令，则，

所以当时，；当时，，

所以函数在上单调递增，在单调递减，

综上可知，当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递增，在单调递减.

（2）由题意知，恒成立等价于对任意恒成立，

由（1）知，当时，函数在上单调递增，

所以当时，显然不符合题意，故舍去；

当时，函数在上单调递增，在单调递减，

所以此时函数的最大值为，即需满足成立，

所以可得，两边同时除以可得，，，

令，则，

所以函数在上单调递增，上单调递减，

所以当时，函数有最大值为，即，

故所求的最大值为.