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4.已知点P(-2,$\frac{\sqrt{14}}{2}$)在椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)上,过点P作圆O:x2+y2=2的切线,切点为A,B,若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F,则a2+b2的值是(  )
A.13B.14C.15D.16

分析 由题意,以OP为直径的圆的方程为(x+1)2+(y-$\frac{\sqrt{14}}{4}$)2=$\frac{15}{8}$,与圆O:x2+y2=2相减,可得直线AB的方程,求出c,再利用点P(-2,$\frac{\sqrt{14}}{2}$)在椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)上,求出a2=8,b2=7,即可求出a2+b2的值.

解答 解:由题意,以OP为直径的圆的方程为(x+1)2+(y-$\frac{\sqrt{14}}{4}$)2=$\frac{15}{8}$.
与圆O:x2+y2=2相减,可得直线AB的方程为2x-$\frac{\sqrt{14}}{2}$y+2=0,
令y=0,可得x=-1,∴c=1,
∵$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{\frac{7}{2}}{{b}^{2}}$=1,∴a2=8,b2=7,
∴a2+b2=8+7=15,
故选C.

点评 本题考查椭圆的方程与性质,考查直线与圆的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

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