Question

已知函数f(x)=|x+

1

x

|
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）求证：函数f（x）在（0，1）上是单调减函数，在[1，+∞）上是单调增函数；
（3）用描点法画出函数f（x）的图象；根据图象写出函数f（x）的单调区间及值域．

Answer 1

分析：（1）分析函数的定义域是否关于原点对称，及f（-x）与f（x）的关系，然后根据函数奇偶性的定义即可得到答案．
（2）根据已知中函数的解析式，我们可以求出x∈（0，+∞）时，函数的解析式及导函数的解析式，然后根据x∈（0，1）时与x∈（1，+∞）时，f′（x）的符号，即可得到结论；
（3）由（1）（2）的结论，结合描点法，我们易得到函数的图象，根据图象易求出函数f（x）的单调区间及值域．

解答：解：（1）∵函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称；（2分）
又∵f(-x)=|-x+

1

-x

|=|x+

1

x

|=f(x)，∴f（x）是偶函数．（4分）
（2）证明：当x∈（0，+∞）时，f(x)=x+

1

x

，
则f′(x)=1-

1

x2

易得当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0
故函数f（x）在（0，1）上是单调减函数，在[1，+∞）上是单调增函数；
（3）函数f（x）图象如图所示（14分）

函数f（x）的单调增区间是[-1，0），[1，+∞），
单调减区间是（-∞，-1]，（0，1]，值域是[2，+∞）（16分）

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的判断及函数单调性的判断与证明，函数图象的画法及应用，属于函数的综合性应用问题，考查了函数除了周期性以外的所有重要知识点，是一道不可多得的好题．