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已知二次函数的图象的顶点坐标是(1,-3),且经过点P(2,0),求这个函数的解析式.

解:法一:设所求函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),
由题意知,解得
∴函数的解析式为y=3x2-6x.
法二:设所求函数的解析式为y=a(x+h)2+k(a≠0),
则顶点坐标为(-h,k),已知顶点坐标是(1,-3),
∴h=-1,k=-3,
即所求的二次函数解析式为y=a(x-1)2-3.
又∵图象经过点P(2,0),∴0=a×(2-1)2-3,
∴a=3.
∴函数的解析式为y=3(x-1)2-3,即y=3x2-6x.
法三:设所求函数的解析式为y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),
其中x1、x2是抛物线与x轴的两交点的横坐标.
已知抛物线与x轴的一个交点为P(2,0),对称轴是直线x=1,
∴抛物线与x轴的另一个交点为(0,0),
∴x1=0,x2=2.
∴所求的解析式为y=a(x-0)(x-2).
又∵顶点为(1,-3),∴-3=a×1×(1-2),∴a=3.
∴函数的解析式为y=3x2-6x.
分析:利用待定系数法求二次函数的解析式.
点评:本题主要考查二次函数解析式的求法,求二次函数的解析式通常有三种方法,要求根据不同的条件选择合适的方法.
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(本题满分14分)

已知二次函数+的图象通过原点,对称轴为.的导函数,且 .

(1)求的表达式(含有字母);

(2)若数列满足,且,求数列的通项公式;

(3)在(2)条件下,若,是否存在自然数,使得当恒成立?若存在,求出最小的;若不存在,说明理由.

 

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(10分)(本题192班必做题,其他班不做)

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,若f(x)+f(x+1)=2x2-2x+13

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)画该函数的图象;

(3)当x∈[t,5]时,求函数f(x)的最大值.

 

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