Question

1．已知函数f（x）=mx³-nx（m≠0）在x=-1时取得极值，且f（1）=-1
（1）求常数m，n的值；
（2）求函数的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数f′（x），利用f′（-1）=0，f（1）=-1，求出m=$\frac{1}{2}$．n=-$\frac{3}{2}$．得到函数的解析式．
（2）求出导函数，得到极值点，通过导函数的符号，得到函数的单调区间．

解答 （1）函数f（x）=mx³-nx（m≠0）可得f′（x）=3mx²-n，
在f′（-1）=0，可得3m-n=0，f（1）=-1，可得m-n=-1，解得m=$\frac{1}{2}$．n=-$\frac{3}{2}$．
得$f（x）=\frac{1}{2}{x^3}-\frac{3}{2}x$，…（6分）
（2）由（1）得$f（x）=\frac{1}{2}{x^3}-\frac{3}{2}x$，
所以$f'（x）=\frac{3}{2}{x^2}-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}（x-1）（x+1）$．
令f'（x）=0得x=±1．
当x变化时，f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

当x=-1时，f（x）有极大值f（-1）=1；
当x=1时，f（x）有极小值f（1）=-1．
所以，f（x）的单调递增区间是（-∞，-1），（1，+∞）；单调递减区间是（-1，1）．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性的判断与求解，考查计算能力．