Question

设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题
①若a⊥b，a⊥α，则b∥α，
②若a⊥β，α⊥β，则a∥α，
③若a∥α，a⊥β，则α⊥β
④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β，
其中正确的命题序号是

 

．

Answer 1

分析：根据线面垂直、面面垂直和线面平行的判定与性质，可得①②两个命题的结论都可能直线在平面内，故①②不正确．根据线面平行的性质定理与面面垂直的判定定理，可证出③是真命题；根据两个平面的法线所成角与两平面所成角相等或互补，可证出④是真命题．由此即可得到本题答案．

解答：解：对于①，根据a⊥b，a⊥α，则b∥α或b?α，不一定得出b∥α，由此可得①不正确；
对于②，a⊥β，α⊥β，则a∥α或a?α，不一定得出a∥α，由此可得②不正确；
对于③，设经过a的平面β交α于b，根据a∥α可得a∥b，
又因为a⊥β，则可得b⊥β．
结合b?α，可得α⊥β，因此③是真命题；
对于④，由a⊥α且b⊥β，可得直线a、b所成角或其补角等于平面α、β所成角，
又因为a⊥b，可得直线a、b所成角等于90°，由此可得α⊥β，所以④是真命题
综上所述，可得正确命题的序号为③④
故答案为：③④

点评：本题给出关于空间位置关系的几个命题，要我们找出其中的真命题．着重考查了直线与平面平行、垂直的判定与性质，以及面面平行、面面垂直的判定与性质等知识，属于基础题．