Question

已知四棱锥A-BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE∥CD，F为AD的中点．
（Ⅰ）求证：面ADE⊥面ACD；
（Ⅱ）求四棱锥A-BCDE的体积；
（III）求平面ADE与平面ABC所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据已知中△ABC为等边三角形，G为AC的中点，DC⊥面ABC得到BG⊥AC，DC⊥BG，根据线面垂直的判定定理得到BG⊥面ADC，则EF⊥面ADC，再由面面垂直的判定定理，可得面ADE⊥面ACD；
（ II）四棱锥四棱锥A-BCDE分为两个三棱锥E-ABC和E-ADC，分别求出三棱锥E-ABC和E-ADC的体积，即可得到四棱锥A-BCDE的体积．
（III）延长DE，CB交于G，连结AG，说明平面ADE与平面ABC所成二面角的平面角是∠DAC，通过已知条件求平面ADE与平面ABC所成二面角的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）证明：∵△ABC为等边三角形∴BG⊥AC
又∵DC⊥面ABC，BG?面ABC∴DC⊥BG
∴BG垂直于面ADC的两条相交直线AC，DC，
∴BG⊥面ADC．                          …（6分）
∵EF∥BG
∴EF⊥面ADC
∵EF?面ADE，∴面ADE⊥面ADC．  …（8分）
（Ⅱ）解：连接EC，该四棱锥分为两个三棱锥E-ABC和E-ADC．
VA-BCDE=VE-ABC+VE-ACD=

1

3

×

3

4

×1+

1

3

×1×

3

2

=

3

12

+

3

6

=

3

4

．…（12分）
（III）延长DE，CB交于G，连结AG，
因为AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE∥CD，所以CB=BG=1，
在△ABG中，AG⊥AC，
因为CD⊥面ABC，所以AG⊥AD，
则平面ADE与平面ABC所成二面角的平面角为：∠DAC．
∴AD=

5

，所以平面ADE与平面ABC所成二面角的余弦值为：

1

5

=

5

5

．

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，棱锥的体积，二面角的平面角的求法，其中熟练掌握空间线面平行或垂直的判定、性质、定义、几何特征是解答此类问题的关键．