Question

设a∈R，函数f（x）=2x³-3（a+2）x²+12ax+4，
（1）若x=3是f（x）的一个极值点，求常数a的值；
（2）若f（x）在（-∞，1）上为增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）=2x³-3（a+2）x²+12ax+4及x=3是f（x）的一个极值点，得f′（3）=0，求出a的值；
（2）若f（x）在（-∞，1）上为增函数，转化为f′（x）≥0恒成立，x∈（-∞，1），采取分离参数的方法求得a的取值范围．

解答：解：（1）f′（x）=6x²-6（a+2）x+12a
∵x=3是f（x）的一个极值点
∴f′（3）=0，即54-18（a+2）+12a=0
解得a=3，经检验知，a=3时，x=3是f（x）的一个极值点
∴a=3．

（2）∵f（x）在（-∞，1）上为增函数
∴f′（x）=6x²-6（a+2）x+12a≥0恒成立，x∈（-∞，1）．
即x²+（2-x）a-2x≥0恒成立，
∵x∈（-∞，1）．
∴2-x＞0
∴a≥

2x-x2

2-x

恒成立．
令g（x）=

2x-x2

2-x

=x＜1
∴a≥1．

点评：考查函数在某点取得极值的条件和函数的单调性与导数的关系，在求a的取值范围时采取的分离参数的方法，转化为求函数的最值问题，体现了转化的思想方法．属中档题．